Задачник Ширяева ОГЭ 2022 математика часть 3: иррациональные числа и выражения

Задачник Ширяева по математике является одним из самых популярных пособий для подготовки к ОГЭ. В его третьей части автор подробно разбирает тему иррациональных чисел и выражений. Данный раздел является одним из самых сложных для учащихся и требует особого внимания и понимания. В этом задачнике Ширяев предлагает ряд задач разной сложности, которые помогут ученикам освоить данную тему.

Иррациональные числа и выражения являются важной частью математики и встречаются во многих областях ее применения. Они не могут быть представлены в виде обыкновенной десятичной дроби или разложены в бесконечную периодическую десятичную дробь. В задачнике Ширяева представлены задания, которые помогут ученикам разобраться с основными свойствами иррациональных чисел и выражений, а также научат их применять эти знания на практике.

К примеру, одним из заданий может быть нахождение приближенного значения иррационального числа с заданной точностью или решение уравнений, содержащих такие числа. Задачи из задачника Ширяева четко структурированы и представлены с подробным решением, что позволяет ученикам лучше понять материал и научиться решать подобные задачи самостоятельно.

Задачник Ширяева ОГЭ 2022 по математике является незаменимым помощником для всех желающих успешно справиться с заданиями, связанными с иррациональными числами и выражениями. Он поможет подготовиться к ОГЭ, закрепить полученные знания и развить навыки решения задач. Четкая структура задачника, доступный язык и подробные решения делают его полезным инструментом для самостоятельного изучения и тренировки. При подготовке к ОГЭ рекомендуется использовать задачник Ширяева не только для работы с иррациональными числами и выражениями, но и в целом для закрепления математических знаний и навыков.

Примеры задач на иррациональные числа и выражения

1. Найдите значение выражения:

√36 — √(16 — 4) + √81

Решение:

По свойствам корней, имеем:

√36 = 6

√16 = 4

√4 = 2

√81 = 9

Подставляем значения в исходное выражение:

6 — (4 — 2) + 9 = 6 — 2 + 9 = 13

Ответ: 13

2. Решите уравнение:

√x + 5 = 8

Решение:

Переносим число 5 на противоположную сторону уравнения:

√x = 8 — 5 = 3

Возводим обе части уравнения в квадрат:

x = 3^2 = 9

Ответ: x = 9

3. Найдите значение выражения:

√14 — √(2 + 5)

Решение:

По свойствам корней, имеем:

√14 ≈ 3.74 (приближенное значение)

√7 ≈ 2.65 (приближенное значение)

Подставляем в исходное выражение:

3.74 — (2.65 + 5) = 3.74 — 7.65 = -3.91

Ответ: -3.91

4. Упростите выражение:

√18 + 2√8 — 3√2

Решение:

По свойствам корней, имеем:

√18 ≈ 4.24 (приближенное значение)

√8 ≈ 2.83 (приближенное значение)

√2 ≈ 1.41 (приближенное значение)

Подставляем приближенные значения в исходное выражение:

4.24 + 2*2.83 — 3*1.41 ≈ 4.24 + 5.66 — 4.23 ≈ 5.67

Ответ: 5.67

Методы решения задач с использованием иррациональных чисел и выражений

В первую очередь, для работы с иррациональными числами и выражениями нужно знать их основные свойства. Например, можно использовать свойства корней, такие как извлечение корня из произведения, деление и суммы иррациональных чисел. Также полезно знать, что при сложении или вычитании иррациональных чисел, два одинаковых иррациональных числа могут быть сокращены, а два разных иррациональных числа — нет.

Еще одним методом решения задач с использованием иррациональных чисел является замена их аппроксимацией. Для этого можно заменить иррациональное число ближайшим рациональным числом с некоторой точностью. Например, корень из 2 можно аппроксимировать числом 1,41. Это позволяет упростить вычисления и получить более точный результат.

Также можно использовать метод сравнения различных иррациональных чисел. Если в задаче требуется сравнить два иррациональных числа, можно взять их квадраты и сравнить их между собой. Как правило, при возведении в квадрат иррациональных чисел, получаются рациональные числа. Например, можно сравнить числа √5 и √7, возводя оба числа в квадрат: 5 и 7.

Таким образом, для решения задач с использованием иррациональных чисел и выражений необходимо знать их свойства, уметь аппроксимировать их рациональными числами и применять методы сравнения. Правильное применение этих методов поможет добиться точных и верных результатов при решении задач на ОГЭ 2022 года.

Свойства иррациональных чисел и выражений, которые помогут в решении задач

Свойства иррациональных чисел:

1. Сумма и разность двух иррациональных чисел является иррациональным числом. Если мы сложим или вычтем два иррациональных числа, то получим новое иррациональное число. Например, сумма корня квадратного из 2 и корня квадратного из 3 будет иррациональным числом.
2. Произведение и частное иррационального числа и рационального числа является иррациональным числом. Если умножить или разделить иррациональное число на рациональное число, результат будет иррациональным числом. Например, произведение корня квадратного из 2 и числа 3 будет иррациональным числом.
3. Квадрат иррационального числа является иррациональным числом. Если возведенное в квадрат иррациональное число, также будет иррациональным числом. Например, квадрат корня квадратного из 2 будет иррациональным числом.

Свойства иррациональных выражений:

1. Сумма и разность двух иррациональных выражений является иррациональным выражением. Если мы сложим или вычтем два иррациональных выражения, то получим новое иррациональное выражение. Например, сумма корня квадратного из 2 и корня квадратного из 3 будет иррациональным выражением.
2. Произведение и частное иррационального выражения и рационального числа является иррациональным выражением. Если умножить или разделить иррациональное выражение на рациональное число, результат будет иррациональным выражением. Например, произведение корня квадратного из 2 и числа 3 будет иррациональным выражением.
3. Квадрат иррационального выражения является иррациональным выражением. Если возведенное в квадрат иррациональное выражение, также будет иррациональным выражением. Например, квадрат корня квадратного из 2 будет иррациональным выражением.

Знание этих свойств иррациональных чисел и выражений поможет в решении задач, где требуется работать с такими числами и выражениями. Они позволяют делать определенные логические выводы и упрощать вычисления.

Типичные ошибки, совершаемые при решении задач с иррациональными числами и выражениями

При решении задач с иррациональными числами и выражениями учащиеся часто делают следующие типичные ошибки:

1. Неправильное округление иррациональных чисел. Ученики могут округлять иррациональные числа до целых чисел или до небольшого числа знаков после запятой, что может существенно исказить результат.
2. Неправильное вычисление выражений с иррациональными числами. В этом случае учащиеся могут пропускать определенные шаги вычислений или делать ошибки при работе с базовыми математическими операциями, такими как сложение и умножение иррациональных чисел.
3. Неправильная интерпретация геометрических задач с иррациональными числами. Здесь ученики могут неправильно понимать графическую интерпретацию иррациональных чисел или не учитывать некоторые особенности связанные с иррациональными числами (например, переход от рациональных чисел к иррациональным в радикальной форме).
4. Пропуск или неправильное использование свойств иррациональных чисел. Здесь ученики могут не использовать основные свойства иррациональных чисел, такие как свойство умножения и деления.
5. Неправильное применение формул и теорем, связанных с иррациональными числами. При решении задач, ученики иногда могут неправильно применять известные формулы или теоремы, что может привести к неверным результатам.

Важно помнить, что решение задач с иррациональными числами и выражениями требует внимательности и точности. Необходимо внимательно анализировать условие задачи, правильно применять свойства и формулы, а также контролировать все промежуточные вычисления.

Советы и рекомендации по подготовке к задачам на иррациональные числа и выражения

1. Знакомство с основными иррациональными числами. Перед тем, как приступить к решению задач, необходимо хорошо знать основные иррациональные числа, такие как √2, π и е. Изучите их свойства, возможные формы записи и приближенные значения.

2. Умение работать с радикалами. Радикалы (квадратные корни) являются основным представителем иррациональных чисел. Овладение базовыми правилами работы с радикалами, такими как умножение и деление, будет полезно при решении задач на иррациональные числа.

3. Понимание основных свойств иррациональных чисел. Иррациональные числа обладают такими свойствами, как то, что они не могут быть представлены десятичной дробью с конечным количеством знаков после запятой или периодом. Изучите и запомните основные свойства иррациональных чисел, чтобы успешно применять их в решении задач.

4. Приведение выражений с иррациональными числами к удобному виду. Иногда выражения с иррациональными числами могут быть сложными и запутанными. Важно уметь приводить такие выражения к удобному виду, например, путем избавления от знаменателя с помощью рационализации. Знание основных методов приведения выражений с иррациональными числами поможет вам в решении задач.

5. Умение проводить вычисления с иррациональными числами. В задачах на иррациональные числа часто требуется выполнить вычисления с использованием этих чисел. Практикуйтесь в проведении вычислений с иррациональными числами, чтобы быть готовыми к решению таких задач.

Важно составить подробный план подготовки, включающий изучение основных понятий и свойств иррациональных чисел, решение большого количества задач различной сложности и контрольные проверки своих знаний. Систематическое обучение и тренировка помогут вам эффективно подготовиться к задачам на иррациональные числа и выражения на ОГЭ.