Теоремы синусов и косинусов для треугольника 9 класс огэ: учимся применять и доказывать

Теоремы синусов и косинусов являются основными инструментами в геометрии треугольников. Они позволяют нам вычислять длины сторон треугольника и измерять его углы. Данные теоремы широко применяются на ОГЭ для решения задач и доказательства различных свойств треугольников.

Теорема синусов устанавливает связь между длинами сторон треугольника и синусами его углов. Согласно этой теореме, отношение длины стороны к синусу противоположного угла остается постоянным для всех сторон треугольника. Эта теорема позволяет нам находить неизвестные стороны треугольника, если известны углы и одна из сторон.

Теорема косинусов связывает длины сторон треугольника с косинусами его углов. Согласно этой теореме, квадрат длины стороны равен сумме квадратов длин оставшихся двух сторон минус удвоенное произведение длин этих сторон на косинус между ними. Эта теорема позволяет нам находить неизвестные стороны и углы треугольника, если известны длины всех его сторон.

Теоремы синусов и косинусов для треугольника

Теорема синусов устанавливает соотношение между сторонами треугольника и синусами его углов. Если в треугольнике ABC стороны a, b и c соответственно противолежат углам A, B и C, то теорема синусов формулируется следующим образом:

a/sin A = b/sin B = c/sin C

Данная формула позволяет найти неизвестные стороны или углы треугольника, если известны значения двух других сторон и/или углов.

Теорема косинусов, в свою очередь, устанавливает соотношение между сторонами и углами треугольника через косинусы. Если в треугольнике ABC стороны a, b и c соответственно противолежат углам A, B и C, то теорема косинусов формулируется следующим образом:

a^2 = b^2 + c^2 — 2bc*cos A

b^2 = a^2 + c^2 — 2ac*cos B

c^2 = a^2 + b^2 — 2ab*cos C

Данные формулы позволяют также находить значения сторон и углов треугольника при известных значениях двух других сторон и/или углов.

Знание данных теорем синусов и косинусов позволяет решать различные задачи треугольников, такие как определение недостающих сторон, вычисление площади треугольника и определение типа треугольника (остроугольный, тупоугольный или прямоугольный).

Класс ОГЭ: учимся применять и доказывать

В рамках подготовки к ОГЭ по математике 9 класса особое внимание уделяется разделу «Теоремы синусов и косинусов для треугольника».

Ученики учатся не только применять эти теоремы при решении задач, но и доказывать их.

Одна из основных теорем, с которой работают ученики, — теорема синусов. Она устанавливает соотношение между сторонами и углами треугольника. Данная теорема формулируется следующим образом:

• Для произвольного треугольника ABC с вершиной A и сторонами a, b, c, имеют место соотношения:
1. a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C), где A, B, C — соответствующие углы треугольника.
2. sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c.

Эта теорема позволяет находить значения пропорций сторон и углов треугольника, если известны какие-либо две из них.

Важным умением, которое ученики должны освоить, является доказательство теоремы синусов и ее обоснование. В процессе доказательства используются геометрические и алгебраические методы.

Также важным является умение применять теоремы синусов и косинусов при решении различных задач. Задачи на применение теорем синусов и косинусов могут быть разного уровня сложности и включать в себя вычисления длин сторон треугольника, нахождение значений углов и т.д.

Изучение и применение теорем синусов и косинусов для треугольника является важной частью подготовки к ОГЭ по математике. Ученикам необходимо усвоить не только формулы, но и уметь применять и доказывать данные теоремы.

Применение теорем синусов и косинусов

Теорема синусов утверждает, что отношение синуса угла в треугольнике к противолежащей стороне является постоянным:

Если в треугольнике ABC угол A имеет синус a, угол B — синус b, а угол C — синус c, то a/b = b/c = c/a

Эта теорема позволяет нам вычислять неизвестные стороны треугольников при известных углах и противолежащих им синусах. Для этого достаточно знать две стороны и угол между ними или три стороны треугольника.

Теорема косинусов утверждает, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, умноженной на два произведения этих сторон на косинус угла между ними:

В треугольнике ABC сторона a в квадрате равна сумме квадратов сторон b и c, умноженной на два произведения b и c на косинус угла между ними:

a^2 = b^2 + c^2 — 2bc*cosA

Эта теорема позволяет нам находить неизвестные углы и стороны треугольников при известных сторонах.

Применение теорем синусов и косинусов играет важную роль при решении различных задач на построение и вычисление треугольников. Они позволяют нам расширить наши возможности и более глубоко изучить свойства треугольников.

Доказательство теоремы синусов для треугольника

Теорема синусов для треугольника устанавливает связь между длинами сторон треугольника и синусами его углов. Формулировка теоремы выглядит следующим образом:

В любом треугольнике отношение длины любой стороны к синусу противолежащего ей угла равно в два раза радиусу описанной окружности треугольника.

Давайте докажем данную теорему:

1. Возьмем произвольный треугольник ABC, где стороны соответственно равны a, b и c.
2. Проведем высоту CH из вершины C на сторону AB.
3. Обозначим точку пересечения высоты с основанием треугольника H.
4. В полученном прямоугольном треугольнике CHB, угол BHC равен 90°, так как это свойство прямоугольного треугольника.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHB и его катеты AH и BH.
6. Используя соотношение для синуса прямого угла (sin 90° = 1) и соотношение для синуса острого угла (sin A = AH / c, sin B = BH / c) получаем следующее равенство:

   sin A = AH / c и sin B = BH / c

7. Умножим обе стороны равенств на длину стороны c:

   c * sin A = AH и c * sin B = BH

8. Так как CH является высотой, используем теорему Пифагора для нахождения длины AH и BH:

   a^2 = CH^2 + BH^2 и b^2 = CH^2 + AH^2

9. Подставим значения AH и BH из предыдущего пункта в уравнения из пункта 8 и получим следующее равенство:

   a^2 = CH^2 + (c * sin A)^2 и b^2 = CH^2 + (c * sin B)^2

10. Вычтем из равенства для a^2 равенство для b^2 и получим:

    a^2 — b^2 = (c * sin A)^2 — (c * sin B)^2

11. Раскроем скобки:

    (a — b)(a + b) = c^2 * sin^2 A — c^2 * sin^2 B

12. Делим обе части равенства на (a + b):

    a — b = c^2 * (sin^2 A — sin^2 B) / a + b

13. Упростим равенство:

    a — b = c^2 * (sin A + sin B) * (sin A — sin B) / a + b

14. Домножим обе части равенства на (a + b):

    (a — b)(a + b) = c^2 * (sin A + sin B) * (sin A — sin B)

15. Поскольку a — b = c * (sin A — sin B), получаем:

    c * (sin A — sin B)(a + b) = c^2 * (sin A + sin B) * (sin A — sin B)

16. Сокращаем на c * (sin A — sin B):

    a + b = c * (sin A + sin B)

17. Делим обе части равенства на c и получаем:

    (a + b) / c = sin A + sin B

18. Заменяем (a + b) на сторону c по свойству равенства сторон треугольника:

    c / c = sin A + sin B

19. Сокращаем c на c:

    1 = sin A + sin B

20. Получили, что либо sin A + sin B = 1, либо sin A + sin B = -1, в зависимости от положения треугольника. Но так как сумма синусов углов не может быть отрицательной, оставляем только равенство sin A + sin B = 1.
21. Следовательно, доказана теорема синусов для треугольника: в любом треугольнике сумма синусов углов равна 1.

Доказательство теоремы косинусов для треугольника

Теорема косинусов для треугольника позволяет связать стороны треугольника с углами, образованными этими сторонами. Формулировка теоремы выглядит следующим образом:

Для любого треугольника ABC с сторонами a, b, c и углами A, B, C, где a – противолежащая сторона углу A, b – противолежащая сторона углу B, c – противолежащая сторона углу C, справедливо следующее равенство:

Докажем теорему для стороны a:

Рассмотрим треугольник ABC и проведем высоту CH, опущенную на сторону a. Заметим, что получившиеся треугольники CHA и CHB являются прямоугольными, так как имеют прямой угол при точке H.

Теперь мы можем записать по теореме Пифагора равенства:

Для треугольника CHA:

CH² = AH² + AC²

Для треугольника CHB:

CH² = BH² + BC²

Так как CH – общая сторона, то можем приравнять их:

AH² + AC² = BH² + BC²

Заметим, что AH равна b cos(A), а BH равна c cos(A), так как AH и BH являются высотами опущенными из вершин A и B соответственно.

Также заметим, что AC равна b, а BC равна c, так как AC и BC являются сторонами прямоугольных треугольников CBA и CBA соответственно.

Используя эти равенства, можем переписать предыдущее равенство:

(b cos(A))² + b² = (c cos(A))² + c²

Раскроем скобки:

b² cos²(A) + b² = c² cos²(A) + c²

Вычтем из обеих частей уравнения b² и c²:

b² cos²(A) — b² = c² cos²(A) — c²

Получим:

b² (cos²(A) — 1) = c² (cos²(A) — 1)

Так как cos²(A) — 1 = -sin²(A), можем записать:

b² (-sin²(A)) = c² (-sin²(A))

Поделим обе части уравнения на -sin²(A), с учетом того, что sin²(A) ≠ 0:

b² = c²

Таким образом, мы доказали, что сторона a равна c².

Аналогично можно доказать, что b² = a² + c² — 2ac cos(B) и c² = a² + b² — 2ab cos(C).

Упражнения по применению и доказательству теорем

Для закрепления знаний о теоремах синусов и косинусов для треугольника рекомендуется выполнить следующие упражнения:

При выполнении этих упражнений стоит обратить внимание на правильное применение формул и правильное решение уравнений. Также очень важно обосновывать свои действия и выводы.