Все формулы для профильной математики ЕГЭ 2024: подробное описание и примеры

ЕГЭ по профильной математике является одним из самых важных испытаний для выпускников школ. Подготовка к этому экзамену требует тщательного изучения всех необходимых формул и освоения методик их применения. В данной статье мы представляем подробное описание всех формул, которые будут необходимы для успешной сдачи ЕГЭ по профильной математике в 2024 году.

Описание формул представлено с примерами и подробным объяснением каждого этапа решения. Мы также предлагаем обобщенные схемы решения задач по каждой формуле, что позволяет выработать у студента навыки самостоятельного мышления и применения формул в различных контекстах.

Знание формул и умение применять их в решении задач – это ключевой фактор успеха на ЕГЭ по профильной математике. Наша статья поможет вам не только освоить все необходимые знания, но и понять, как правильно применять формулы в различных контекстах задач, что значительно повысит ваши шансы на успешное прохождение экзамена.

Основные формулы для алгебры и анализа

В данном разделе приведены основные формулы, необходимые для решения задач по алгебре и анализу на ЕГЭ. Эти формулы помогут вам эффективно решать задачи и получить высокий балл.

Алгебра

1. Формула суммы арифметической прогрессии:

n-й член прогрессии	S — сумма первых n членов прогрессии
a_n = a_1 + (n — 1)d	S_n = (n / 2)(a_1 + a_n)

2. Формула суммы геометрической прогрессии:

S — сумма первых n членов прогрессии
S_n = a_1 * (1 — q^n) / (1 — q)

3. Формула сокращенного умножения (квадрат разности):

(a — b)(a + b) = a^2 — b^2

Анализ

1. Формула производной функции:

f'(x) = lim(h->0)(f(x + h) — f(x)) / h

2. Формула для вычисления площади под кривой:

S = ∫(a,b) f(x)dx

3. Формула для определения значения функции в точке (теорема о среднем):

f(b) — f(a) = f'(c)(b — a)

4. Формула для определения значения функции в точке (правило Лопиталя):

lim(x->a)(f(x) / g(x)) = lim(x->a)(f'(x) / g'(x))

Ознакомьтесь с этими формулами и постарайтесь их запомнить. Уверенное владение формулами позволит вам быстро и точно решить задачи алгебры и анализа на ЕГЭ.

Формулы для геометрических преобразований

1. Отражение относительно оси симметрии:

Для отражения точки с координатами (x, y) относительно оси симметрии, горизонтальной или вертикальной, воспользуйтесь следующими формулами:

Если ось симметрии — горизонтальная, то новые координаты точки будут (-x, y).

Если ось симметрии — вертикальная, то новые координаты точки будут (x, -y).

2. Поворот на угол α относительно начала координат:

Формулы для поворота точки с координатами (x, y) на угол α:

Новые координаты точки будут (x’ , y’), где:

x’ = x * cos α — y * sin α

y’ = x * sin α + y * cos α

3. Параллельный перенос:

Формулы для параллельного переноса фигуры на вектор (a, b):

Новые координаты точки будут (x’ , y’), где:

x’ = x + a

y’ = y + b

4. Масштабирование:

Для масштабирования фигуры относительно начала координат воспользуйтесь следующими формулами:

Новые координаты точки будут (x’ , y’), где:

x’ = k * x

y’ = k * y

Здесь k — коэффициент масштабирования, который определяет увеличение или уменьшение фигуры.

Теперь вы знакомы с основными формулами для геометрических преобразований. Эти формулы помогут вам решать задачи на ЕГЭ по математике и уверенно работать с геометрическими фигурами.

Формулы для решения уравнений и неравенств

Формула квадратного трехчлена:

Для уравнения вида ax² + bx + c = 0 существует формула дискриминанта:

D = b² — 4ac

Если дискриминант положителен (D > 0), то у уравнения два различных действительных корня.

Если дискриминант равен нулю (D = 0), то у уравнения один действительный корень.

Если дискриминант отрицателен (D < 0), то у уравнения нет действительных корней.

Корни квадратного уравнения можно найти с помощью формулы:

x_1,2 = (-b ± √D) / (2a)

Формула для решения системы уравнений:

Если дана система линейных уравнений:

a₁x + b₁y = c₁

a₂x + b₂y = c₂

То решение системы можно найти с помощью формулы:

x = (c₁b₂ — c₂b₁) / (a₁b₂ — a₂b₁)

y = (c₂a₁ — c₁a₂) / (a₁b₂ — a₂b₁)

Формула для решения неравенств:

Для решений неравенств можно использовать следующие формулы:

1. Если ax + b > 0, то x > -b/a.

2. Если ax + b < 0, то x < -b/a.

3. Если ax + b ≥ 0, то x ≥ -b/a.

4. Если ax + b ≤ 0, то x ≤ -b/a.

Зная эти формулы, вы сможете успешно решать уравнения и неравенства на экзамене ЕГЭ!

Формулы для решения систем уравнений

При решении систем уравнений часто используют различные методы, основанные на преобразованиях и свойствах уравнений. Вот некоторые из основных формул, которые пригодятся при решении систем уравнений на ЕГЭ по математике.

Метод замены

Метод замены заключается в замене одной переменной в системе уравнений выражением, содержащим другую переменную. Этот метод может быть полезен при решении систем с уравнениями, в которых есть выражения с равными значениями. Например:

1. Уравнение: x + y = 10

2. Уравнение: x — 2y = 3

Если в первом уравнении выразить переменную x через y (например, x = 10 — y), то получим систему уравнений с одной переменной, которую можно решить методом подстановки.

Метод сложения (метод Гаусса)

Метод сложения сводит задачу к системе уравнений с меньшим количеством переменных. Для этого уравнения складывают или вычитают в таком порядке, чтобы одна переменная исчезла. Например:

1. Уравнение: 2x + y = 4

2. Уравнение: 3x — y = 1

Сложим оба уравнения и получим: 5x = 5. Теперь найдем значение x, подставим его в любое из исходных уравнений и найдем значение y.

Метод определителей (метод Крамера)

Метод определителей основан на свойствах определителей. Для системы уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных, можно использовать матрицу коэффициентов и матрицу свободных членов для решения системы. Например:

1. Уравнение: 2x + y = 4

2. Уравнение: 3x — y = 1

Матрица коэффициентов будет иметь вид:

[2 1]

[3 -1]

Матрица свободных членов будет иметь вид:

[4]

[1]

Решив определитель матрицы коэффициентов и определителя по очереди для каждой переменной, найдем значения x и y.

Знание этих методов и соответствующих формул поможет вам эффективно решать системы уравнений на ЕГЭ по математике. При решении систем стоит помнить, что важно внимательно работать с каждым уравнением и правильно применять методы решения.

Формулы для арифметических и геометрических прогрессий

Арифметическая прогрессия:

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается прибавлением к предыдущему элементу одного и того же числа, называемого разностью прогрессии.

Формула общего члена арифметической прогрессии:

a_n = a₁ + (n-1)d

где a_n — n-й член прогрессии, a₁ — первый член прогрессии, d — разность прогрессии, n — номер члена прогрессии.

Формула суммы n членов арифметической прогрессии:

S_n = (a₁ + a_n) * n / 2

где S_n — сумма n членов прогрессии, a₁ — первый член прогрессии, a_n — n-й член прогрессии, n — количество членов прогрессии.

Геометрическая прогрессия:

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается умножением предыдущего элемента на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии.

Формула общего члена геометрической прогрессии:

b_n = b₁ * q^(n-1)

где b_n — n-й член прогрессии, b₁ — первый член прогрессии, q — знаменатель прогрессии, n — номер члена прогрессии.

Формула суммы n членов геометрической прогрессии:

S_n = b₁ * (1 — qⁿ) / (1 — q)

где S_n — сумма n членов прогрессии, b₁ — первый член прогрессии, q — знаменатель прогрессии, n — количество членов прогрессии.

Формулы для работы с вероятностью и статистикой

Вероятность:

Вероятность события P(A) = n(A)/n(S), где n(A) — количество благоприятных исходов, n(S) — количество возможных исходов.

Сумма вероятностей P(A ∪ B) = P(A) + P(B) — P(A ∩ B), где A и B — два несовместных события.

Условная вероятность P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), где A и B — два зависимых события.

Формула Байеса: P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B), где A и B — два зависимых события.

Статистика:

Среднее арифметическое X совокупности чисел X1, X2, …, Xn: X = (X1 + X2 + … + Xn) / n.

Дисперсия чисел X1, X2, …, Xn: D = ((X1 — X)^2 + (X2 — X)^2 + … + (Xn — X)^2) / n.

Стандартное отклонение чисел X1, X2, …, Xn: σ = sqrt(D), где sqrt() — квадратный корень.

Формулы для математической логики и комбинаторики

1. Формулы для комбинаторики:

— Формула числа сочетаний без повторений:

C_n^k = n! / (k!(n-k)!), где n — количество элементов в множестве, k — количество выбранных элементов.

— Формула числа сочетаний с повторениями:

C_n+k-1^k = (n+k-1)! / (k!(n-1)!), где n — количество элементов в множестве, k — количество выбранных элементов.

— Формула числа перестановок без повторений:

P_n = n!, где n — количество элементов в множестве.

— Формула числа перестановок с повторениями:

P_n1,n2,…,nk = (n1 + n2 + … + nk)! / (n1! * n2! * … * nk!), где n1, n2, …, nk — количество элементов каждого типа.

— Формулы для расчета вероятности событий в комбинаторике:

P(A) = m / n, где m — число благоприятных исходов, n — общее число возможных исходов.

— Формула размещений:

A_n^k = n! / (n-k)!, где n — количество элементов в множестве, k — количество выбранных элементов с учетом порядка.

2. Формулы для математической логики:

— Формула отрицания:

¬p

— Формула конъюнкции (логическое И):

p ∧ q

— Формула дизъюнкции (логическое ИЛИ):

p ∨ q

— Формула импликации (логическое Если…то):

p → q

— Формула эквиваленции (логическое Тогда и только тогда):

p ↔ q

— Формула исключающего ИЛИ:

p ⊕ q

— Формула штрих Шеффера:

p | q

— Формула стрелки Пирса:

p ↓ q

Знание этих формул поможет вам успешно справиться с заданиями на ЕГЭ по математике, связанными с комбинаторикой и математической логикой.